Dubbio su energia immagazzinata in un induttore

[lionelgreenstreet]

Ciao a tutti,
sto studiando il comportamento del condensatore e dell'induttore per
quanto riguarda l'immagazzinamento dell'energia. Considero il caso
dell'induttore (vale la stessa cosa per il condensatore). Il libro
vuole dimostrare che l'energia immagazzinata non dipende dalla forma
d'onda della tensione (o della corrente) in un determinato intervallo
di tempo (come avviene per una resistenza), ma dalla quantità di
flusso immagazzinata ai due limiti temporali dell'intervallo
considerato. La dimostrazione per me è poco chiara.
Considerando questa formula

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vengono derivate le seguenti considerazioni

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sulla seguente immagine

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Io non capisco la frase "qualsiasi coppia di forme d'onda.....darà la
stessa wl". Ora, se wl è graficamente l'area sottesa dalla curva, come
fanno due curve diverse (ma con stessi valori agli istanti di tempo
limite) a fornire la stessa area? Se la curva che considero è una
retta che unisce i due punti, avrò un'area diversa da quella
disegnata....o no?
grazie

[Giorgio Bibbiani]

Post by lionelgreenstreet
Considero il caso
dell'induttore (vale la stessa cosa per il condensatore). Il libro
vuole dimostrare che l'energia immagazzinata non dipende dalla forma
d'onda della tensione (o della corrente) in un determinato intervallo
di tempo (come avviene per una resistenza), ma dalla quantità di
flusso immagazzinata ai due limiti temporali dell'intervallo
considerato.

L'energia assorbita dall'induttore in un dato intervallo
di tempo dipende dal flusso concatenato al tempo t_1
e da quello al tempo t_2, infatti data la formula:
(2.17b) W_L(phi_1, phi_2) = int_{phi_1}^{phi_2}(I(phi)) dphi
sostituendovi la relazione tra la corrente I attraverso l'induttore
avente induttanza L e il flusso concatenato phi:
(1) I = phi / L,
si ottiene:
W_L(phi_1, phi_2) = int_{phi_1}^{phi_2}(phi / L) dphi
= (phi_2^2 - phi_1^2) / (2L)
che appunto dipende solo da phi_1 e phi_2.

...

Post by lionelgreenstreet
Io non capisco la frase "qualsiasi coppia di forme d'onda.....darà la
stessa wl". Ora, se wl è graficamente l'area sottesa dalla curva, come
fanno due curve diverse (ma con stessi valori agli istanti di tempo
limite) a fornire la stessa area? Se la curva che considero è una
retta che unisce i due punti, avrò un'area diversa da quella
disegnata....o no?

L'errore che fai e' di supporre che per un dato phi(t) allora
I(t) possa essere arbitraria, mentre la (1) ci dice che non
e' cosi'.

Ciao

[lionelgreenstreet]

On 20 Ott, 19:23, "Giorgio Bibbiani"

Post by Giorgio Bibbiani

Post by lionelgreenstreet
Io non capisco la frase "qualsiasi coppia di forme d'onda.....darà la
stessa wl". Ora, se wl è graficamente l'area sottesa dalla curva, come
fanno due curve diverse (ma con stessi valori agli istanti di tempo
limite) a fornire la stessa area? Se la curva che considero è una
retta che unisce i due punti, avrò un'area diversa da quella
disegnata....o no?

L'errore che fai e' di supporre che per un dato phi(t) allora
I(t) possa essere arbitraria, mentre la (1) ci dice che non
e' cosi'.

Ok,
grazie per la risposta. Vediamo se ho capito: quella è la
caratteristica di un induttore non lineare la cui induttanza di
piccolo segnale è pari a dfi/di. Indipendentemente da quale sia la
forma d'onda della corrente, otterrò sempre la stessa area se gli
estremi coincidono sulla caratteristica fi/i...giusto?

Un'altra cosa.Se fosse così scritto sopra, mi sfugge qualcosa: non
capisco perchè per la resistenza l'energia persa dipende dalla forma
d'onda della corrente, per l'induttore no. O meglio, matematicamente
me lo spiego, non me lo spiego fisicamente...

[Giorgio Bibbiani]

Post by lionelgreenstreet
grazie per la risposta. Vediamo se ho capito: quella è la
caratteristica di un induttore non lineare la cui induttanza di
piccolo segnale è pari a dfi/di. Indipendentemente da quale sia la
forma d'onda della corrente, otterrò sempre la stessa area se gli
estremi coincidono sulla caratteristica fi/i...giusto?

Se esiste una relazione non lineare I = I(phi) tra
flusso concatenato e corrente (quindi il dispositivo
_non_ e' un induttore ideale), allora si ha:
W_L(phi_1, phi_2) = int_{phi_1}^{phi_2}(I(phi)) dphi
che non dipende dall'andamento temporale del flusso
phi(t) e della corrente I(phi(t)) per un dato induttore
(cioe' per una data relazione tra phi e I), ma dipende
solo dai valori iniziale e finale di phi.

Post by lionelgreenstreet
Un'altra cosa.Se fosse così scritto sopra, mi sfugge qualcosa: non
capisco perchè per la resistenza l'energia persa dipende dalla forma
d'onda della corrente, per l'induttore no. O meglio, matematicamente
me lo spiego, non me lo spiego fisicamente...

Fisicamente la differenza e' che il resistore e' un sistema
dissipativo, che converte con continuita' e *irreversibilmente*
la potenza elettrica assorbita I^2 * R in potenza termica,
quindi anche se agli estremi di un dato intervallo di tempo
[t_1, t_2] la corrente attraverso il resistore e' uguale,
l'energia elettrica assorbita dal resistore vale comunque
E = int_{t_1}^{t_2}(I^2 * R) dt >= 0 J
(matematicamente l'integrando e' non negativo su
tutto l'intervallo di integrazione), mentre l'induttore
(idealmente privo di resistenza) e' un
dispositivo che converte _reversibilmente_
energia elettrica in energia magnetica e dato
che l'energia magnetica immagazzinata nel campo
magnetico generato dalla corrente e' funzione solo del
valore della corrente per un dato induttore, allora se
negli estremi dell'intervallo di tempo la corrente I (e
quindi il flusso phi) e' uguale allora e' anche uguale
l'energia immagazzinata nel campo magnetico, e
l'induttore ha scambiato una energia elettrica netta nulla
con il resto del circuito (matematicamente l'integrando
di int_{t_1}^{t_2}(I(phi(t)) * dphi/dt) dt assume
sia valori positivi quando si converte energia elettrica
in energia magnetica che negativi quando si converte
energia magnetica in elettrica).

Ciao